Question

【题目】小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

（一）猜测探究

在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．

（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　 　，与的数量关系是　 　；

（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二）拓展应用

如图3，在中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．

Answer 1

【答案】（一）（1）结论：，．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）的最小值为．

【解析】

（一）①结论：，．根据证明≌即可．

②①中结论仍然成立．证明方法类似．

（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于．理由全等三角形的性质证明，推出当的值最小时，的值最小，求出的值即可解决问题．

（一）（1）结论：，．

理由：如图1中，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴≌（），

∴．

故答案为，．

（2）如图2中，①中结论仍然成立．

理由：∵，

∴，

∴，

∵，，

∴≌（），

∴．

（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于．

∵，

∴，

∵，，

∴≌（），

∴，

∴当的值最小时，的值最小，

在中，∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在，∵，

∴，

根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，

∴的最小值为．