Question

【题目】如图1，A（1，0）、B（0，2），双曲线y＝（x＞0）

（1）若将线段AB绕A点顺时针旋转90°后B的对应点恰好落在双曲线y＝（x＞0）上

①则k的值为　 ；

②将直线AB平移与双曲线y＝（x＞0）交于E、F，EF的中点为M（a，b），求的值；

（2）将直线AB平移与双曲线y＝（x＞0）交于E、F，连接AE．若AB⊥AE，且EF＝2AB，如图2，直接写出k的值　 ．

Answer 1

【答案】（1）①k＝3；②2；（2）k＝．

【解析】

（1）先求出A、B点的坐标，再求出旋转后B点的坐标，进而由待定系数法求出k便可；
（2）设出EF的解析式，再求出点E、F的坐标，由中点坐标公式求得M点的坐标，进而求；
（3）由△ABO∽△EHA得：，设EH=m，则AH=2m，求出EF的表达式并与反比例函数表达式联立求出点F坐标，即可求解

（1）①设旋转后点B的对应点为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAO+∠CAD＝90°，

∵∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠CAD，

在△OAB和△DCA中，

，

∴△OAB≌△DCA（AAS），

∴CD＝OA＝1，

AD＝OB＝2，

∴OD＝OA+AD＝3，

∴C（3，1），

把C（3，1）代入y＝中，得k＝3，

故答案为3；

②直线AB表达式中的k值为﹣2，AB∥EF，则直线EF表达式中的k值为﹣2，

设点E（m，n），mn＝3，

直线EF的表达式为：y＝﹣2x+t，

将点E坐标代入上式并解得，直线EF的表达式为y＝﹣2x+2m+n，

将直线EF表达式与反比例函数表达式联立并整理得：

2x2﹣（2m+n）x+3＝0，

x1+x2＝，x1x2＝，

则点F（n，），

则a＝（），b＝（n+），

＝2；

（2）故点E作EH⊥x轴交于点H，

由（1）知：△ABO∽△EHA，

∴，设EH＝m，则AH＝2m，

则点E（2m+1，m），且k＝m（2m+1）＝2m2+m，

直线AB表达式中的k值为﹣2，AB∥EF，则直线EF表达式中的k值为﹣2，

设直线EF的表达式为：y＝﹣2x+b，将点E坐标代入并求解得：b＝5m+2，

故直线EF的表达式为：y＝﹣2x+5m+2，

将上式与反比例函数表达式联立并整理得：2x2﹣（5m+2）x+3＝0，

用韦达定理解得：xF+xE＝，则xF＝，

则点F（m，4m+2），

则EF＝＝2AB＝2×，

整理得：3m2+4m﹣4＝0，

解得：m＝或﹣2（舍去负值），

k＝m（2m+1）＝2m2+m＝．