Question

【题目】在中，，，．动点分别从点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿匀速运动．点沿折线向终点匀速运动，在上的速度分别是每秒个单位、每秒2个单位．当点停止时，点也随之停止运动．连按，将绕着点逆时针旋转得到，连按，设点的运动时间为．

（1）用含的代数式表示的长．

（2）当点与的顶点重合时，求的长．

（3）设的面积为，求与之间的函数关系式．

（4）点出发后，当与的边所夹的角被平分时，直按写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或1；（3）当时，；当时，；（4）或或

【解析】

（1）由直角三角形的性质得出AB=2AC=2，BC=ACtan60°=，求出0＜t≤，得出PB=AB-AP=2-t（0＜t≤）；

（2）由旋转的性质得出△PQD是等边三角形，①当点D与点C重合时，由等边三角形的性质得出∠PCQ=60°，得出∠ACP=90°-∠PCQ=30°，求出∠APC=90°，由三角函数即可得出答案； ②当点D与点A重合时，由等边三角形的性质得出此时点Q与点C重合，得出PQ=AC=1即可；

（3）分情况讨论①当时，过点Q作QH⊥AB于H，则 求出得出由勾股定理得出即可得出答案；

②当 时，过点Q作QH⊥AB于H，则 得出由勾股定理得出即可得出答案；

（4）①当PQ平分∠DPB时；②当PQ平分∠DQB时；③当PQ平分DQC时；求出t的值即可．

解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=2，BC=ACtan60°=，

∵点P以每秒1个单位的速度沿A→B匀速运动，

∴点P到点B用的时间为：=2（秒），

∵点Q沿折线BC→CA向终点A匀速运动，

在BC、CA上的速度分别是每秒个单位，每秒2个单位，

∴点Q与点C重合时，用的时间为：=1（秒），

点Q从点C运动到点A用的时间为：（秒），

∵当点Q停止时，点P也随之停止运动，

∴0＜t≤，

∴PB=AB-AP=2-t（0＜t≤）；

（2））∵将PQ绕着点P逆时针旋转60°了得到PD，

∴△PQD是等边三角形， 分情况讨论：

①当点与点重合时

∵△PQD是等边三角形， ∴∠PCQ=60°，

∴∠ACP=90°-∠PCQ=90°-60°=30°，

∵∠A=60°，

∴∠APC=180°-∠A-∠ACP=180°-60°-30°=90°，

∴PQ=PC=ACsin60°=

②当点D与点A重合时，如图2所示：

∵△PQD是等边三角形，∠A=60°，

∴此时点Q与点C重合，

∴PQ=AC=1；

综上所述，当点D与△ABC的顶点重合时，PQ的长为或1；

（3）分情况讨论：

①当时，过点Q作QH⊥AB于H，如图3所示：

则QH=BQ=

BH=BQcos30°=

PH=PB-BH=

②当时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图4所示：

则AQ=

QH=AQsin60°=

∴PH=AP-AH=

∴

∴

（4））①当PQ平分∠DPB时，如图5所示： 则∠QPB=∠DPQ=60°，

∴∠BQP=180°-∠QPB-∠B=180°-60°-30°=90°，

∴BQ=sin60°PB，即

解得：

②当PQ平分∠DQB时，如图6所示： 则∠PQB=∠DPQ=60°，

∴∠BPQ=180°-∠PQB-∠B=180°-60°-30°=90°，

∴PB=sin60°BQ，即

解得：．

③当PQ平分∠DQC时，如图7所示： 则点Q与点A重合，∠CAP=∠DAP=60°，

此时，

综上所述，当△ABC与△PQD的边所夹的角被PQ平分时，t的值为或或．