题目内容

精英家教网如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．
（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，
①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；
②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．
（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）因为无法直接求△CPQ的面积，只好用梯形的面积减去两个三角形的面积，得到关于t的二次函数，求最小值就可以了，从而得到t的值，就可求出Q的坐标．利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t的值，就可以求出Q点的坐标．
（2）利用三角形的相似，得到比例线段，解关于a、t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可求．
解答：解：（1）①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．
S△CPQ=S梯形QCOA-S△COP-S△APQ=
1
2
（AQ+OC）×OA-
1
2
AP•AQ-
1
2
OC•OP
=
1
2
（0.5t+6）×10-
1
2
×0.5t×（10-t）-
1
2
×6×t
=
1
4
（t-6）2+21
∵a=
1
4
＞0，
∴当t=6时，S△CPQ有最小值，
那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
∴Q点的坐标是（10，3）．
②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：
（i）当△COP∽△PAQ时：
∴
AQ
AP
=
OP
OC
，
∴
0.5t
10-t
=
t
6
，
即t2-7t=0，
解得，t1=0（不合题意，舍去），t2=7．
∴t=7，
∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
∴Q点的坐标是（10，3.5）．

（ii）当△COP∽△QAP时：
OP
OC
=
AP
AQ
，
∴
t
6
=
10-t
0.5t
，
即t2+12t-120=0
解得：t1=-6+2
39
，t2=-6-2
39
（不合题意，舍去）
∴AQ=0.5t=-3+
39
．
∴Q点的坐标是（10，-3+
39
）；

（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，
∴
OP
OC
=
AQ
AP
OP
OC
=
BQ
BC
，
即
t
6
=
at
10-t
t
6
=
6-at
10
，
解得，t1=2，t2=18，
又∵0＜t＜10，
∴t=2．代入任何一个式子，可求a=
4
3
．
∴AQ=at=
8
3

∴Q点的坐标是（10，
8
3
）．
点评：本题利用了梯形、三角形的面积公式，相似三角形的性质，关键要会用含t的代数式表示线段的长，还用到了二次函数求最小值的知识（当a＞0时，二次函数有最小值），矩形的性质以及路程等于速度乘以时间等知识．
练习册系列答案
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BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
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