Question

16．如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S_△PAB=10，求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；
（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S_△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）分别代入y=x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标为（1，-4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，-4≤y＜0．
（3）∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，y），则S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB•|y|=2|y|=10，
∴|y|=5，
∴y=±5．
①当y=5时，x²-2x-3=5，解得：x₁=-2，x₂=4，
此时P点坐标为（-2，5）或（4，5）；
②当y=-5时，x²-2x-3=-5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（-2，5）或（4，5）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．