Question

9．我军某部队上午9时在南海巡航，某军舰位于南海的A处，观察到一小岛P位于军舰的北偏西67.5°，军舰以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时军舰到达B处，这时观测到城市P位于军舰的南偏西36.9°方向，求此时军舰所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈$\frac{3}{5}$，tan36.9°≈$\frac{3}{4}$，sin67.5°≈$\frac{12}{13}$，tan67.5°≈$\frac{12}{5}$）

Answer 1

分析 首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△PCB中，利用正切函数求得出AC与BC的长，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，继而求得答案．

解答 解：根据题意得：PC⊥AB，
设PC=x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A=$\frac{PC}{AC}$，
∴AC=$\frac{PC}{tan67.5°}$=$\frac{15x}{12}$．
在Rt△PCB中，∵tan∠B=$\frac{PC}{BC}$，
∴BC=$\frac{x}{tan36.9°}$=$\frac{4x}{3}$．
∵AC+BC=AB=21×5，
∴$\frac{5x}{12}$+$\frac{4x}{3}$=21×5，
解得：x=60．
∵sin∠B=$\frac{PC}{PB}$，
∴PB=$\frac{PC}{sin∠B}$=$\frac{60}{sin36.9°}$=60×$\frac{5}{3}$=100（海里）．
答：此时军舰所处位置B与城市P的距离为100海里．

点评 此题考查了方向角问题，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．