Question

【题目】如图，在中，，平分交于点.

（1）如图①，若于点，，求的度数；

（2）如图②，若交于点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）首先计算出∠B，∠BAC的度数，然后可得∠EAC＝30°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DAC的度数，进而可得答案；

（2）首先证明∠DAE＝∠FEC，然后再根据三角形内角和定理可得∠EAC＝90°∠C，再利用角之间的和差关系可得∠DAE＝∠DAC∠EAC，利用等量代换可得∠DAE＝∠C，进而可得结论．

（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C，

∴∠B＝80°，

∴∠BAC＝60°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝30°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝50°，

∴∠DAE＝50°30°＝20°；

（2）证明：作AD⊥BC 于D点，如图，∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝90°，

∴∠AED＋∠FEC＝90°，

∵∠DAE＋∠AED＝90°，

∴∠DAE＝∠FEC，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝（180°∠B∠C）＝（180°3∠C）＝90°∠C，

∵∠DAE＝∠DAC∠EAC，

∴∠DAE＝∠DAC（90°∠C）＝90°∠C90°＋∠C＝∠C，

∴∠FEC＝∠C，

∴∠C＝2∠FEC．