Question

【题目】已知方程+px+q＝0的两个根是，，那么+＝－p， ＝q，反过来，如果+＝－p， ＝q，那么以，为两根的一元二次方程是+px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：

(1)已知关于x的方程+mx+n＝0(n≠0)，求出—个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．

(2)已知a、b满足－15a－5＝0，－15b－5＝0，求的值．

(3)已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值

Answer 1

【答案】（1）ny2+my+1=0；（2）-47或2；（3）c的最小值为4．

【解析】

（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出+=﹣=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．

（2）分两种情况讨论：①当a≠b时，根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值；②当a=b时，直接得出答案．

（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4≥0，即可求出c的最小值．

（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则：+==﹣==，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：y2+y+=0，整理得：ny2+my+1=0；

（2）分两种情况讨论：①当a≠b时，∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，∴a+b=15，ab=﹣5，∴====﹣47．

②当a=b时，原式=2；

（3）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=，∴a、b是方程x2+cx+=0的解，∴c2﹣4≥0，c2﹣≥0．

∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．