Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，PE=PB．
（1）求证：①PE=PD； ②PE⊥PD；
（2）设AP=x，△PBE的面积为y．求出y关于x的函数关系式．

Answer 1

解：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图．

∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；
（2）过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．
∵AP=x，AC=，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=﹣x，PF=FC=．
BF=FE=1﹣FC=1﹣（）=．
∴S_△PBE=EB·FP=BF·PF=（）=．
即（0＜x＜）．