题目内容
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=4cm，BC=2cm，AB=3cm．从初始时刻开始，动点P、Q 分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A→B→C→E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B→C→E→D的方向运动，到点D停止．设运动时间为xs，△PAQ的面积为y cm2．（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：
（1）当x=2s时，y=
s时，y=
（2）当动点P在线段BC上运动，即3≤x≤5时，求y与x之间的函数关系式，并求出y=2.5时x的值；
（3）当动点P在线段CE上运动，即5＜x≤8 时，求y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．
（1）当x=2s时，y=
2
2
cm2；当x=| 5 | 2 |
2.5
2.5
cm2；（2）当动点P在线段BC上运动，即3≤x≤5时，求y与x之间的函数关系式，并求出y=2.5时x的值；
（3）当动点P在线段CE上运动，即5＜x≤8 时，求y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．
分析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，当x=
s时，△PAQ的高就是2，底为2.5，由三角形的面积公式可以求出其解．
（2）当3≤x≤5时，利用y=S梯形ABCQ-S△ABP-S△CPQ，求y与x之间的函数关系式，以及求出y=2.5时x的值；
（3）分别利用当5＜x≤7时，以及当7＜x≤8时，求出y与x之间的函数关系式；
（4）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．
| 5 |
| 2 |
（2）当3≤x≤5时，利用y=S梯形ABCQ-S△ABP-S△CPQ，求y与x之间的函数关系式，以及求出y=2.5时x的值；
（3）分别利用当5＜x≤7时，以及当7＜x≤8时，求出y与x之间的函数关系式；
（4）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．
解答：
解：（1）∵当x=2s时，AP=2，BQ=2，
∴y=
×2×2=2（cm2），
当x=
s时，△PAQ的高就是2，底为2.5，
y=
×2×2.5=2.5（cm2），
（2）如图1，当3≤x≤5时，
y=S梯形ABCQ-S△ABP-S△CPQ
=
×[3+(x-2)]×2-
×3(x-3)-
(5-x)(x-2)
=
x2-4x+
．
当y=2.5时，
x2-4x+
=2.5，
（x-4）2=0
解得：x1=x2=4，
∴当x=4时，y=2.5．
（3）如图2，当5＜x≤7时，
y=
PE×AQ=
（2+x-5）（8-x）=-
x2+
x-12；
如图3，当7＜x≤8时，
y=
×AD×PE=
×4×（8-x）=16-2x；
（4）设运动时间为x秒，
如图4，当PQ∥AC时，BP=3-x，BQ=x，
此时△BPQ∽△BAC，
故
=
，即
=
，
解得：x=1.2；
如图5，当PQ∥BE时，PC=5-x，QC=x-2，
此时△PCQ∽△BCE，
故
=
，即
=
，
解得x=3.8；
如图6，当PQ∥BE时，EP=8-x，EQ=x-5，
此时△PEQ∽△BAE，
故
=
，即
=
，
解得x=6.2．
综上所述：x的值为：1.2，3.8，6.2．
故答案为：2，2.5．
解：（1）∵当x=2s时，AP=2，BQ=2，∴y=
| 1 |
| 2 |
当x=
| 5 |
| 2 |
y=
| 1 |
| 2 |
（2）如图1，当3≤x≤5时，
y=S梯形ABCQ-S△ABP-S△CPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 21 |
| 2 |
当y=2.5时，
| 1 |
| 2 |
| 21 |
| 2 |
（x-4）2=0
解得：x1=x2=4，∴当x=4时，y=2.5．
（3）如图2，当5＜x≤7时，
y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 11 |
| 2 |
如图3，当7＜x≤8时，
y=| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（4）设运动时间为x秒，
如图4，当PQ∥AC时，BP=3-x，BQ=x，
此时△BPQ∽△BAC，
故
| BP |
| AB |
| BQ |
| BC |
| 3-x |
| 3 |
| x |
| 2 |
解得：x=1.2；如图5，当PQ∥BE时，PC=5-x，QC=x-2，
此时△PCQ∽△BCE，
故
| PC |
| BC |
| CQ |
| CE |
| 5-x |
| 2 |
| x-2 |
| 3 |
解得x=3.8；
如图6，当PQ∥BE时，EP=8-x，EQ=x-5，
此时△PEQ∽△BAE，故
| EP |
| AB |
| EQ |
| AE |
| 8-x |
| 3 |
| x-5 |
| 2 |
解得x=6.2．
综上所述：x的值为：1.2，3.8，6.2．
故答案为：2，2.5．
点评：本题考查了用函数关系式表示变化过程中三角形的面积和相似三角形的判定及性质以及梯形的面积等多个知识点，利用分类讨论得出是解题关键．
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已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（ ）A、
| ||||
B、4
| ||||
C、
| ||||
D、4
|
5、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD相交于点O，那么，图中全等三角形共有
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