Question

17．设k＜0，当二次函数y=$\frac{1}{2}{x^2}+kx+k-\frac{1}{2}$的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 依据二次函数y=$\frac{1}{2}{x^2}+kx+k-\frac{1}{2}$的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4，列方程求出k即可．

解答 解：设二次函数y=$\frac{1}{2}{x^2}+kx+k-\frac{1}{2}$的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为x₁、x₂，
x₁+x₂=-2k，x₁x₂=2k-1，
∵|x1x1x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=4．
∴（x₁-x₂）²=16，
变形为：（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，
∴4k²-4（2k-1）=16，
整理得：k²-2k-3=0，
解得：k₁=3，k₂=-1，
∵k＜0，
∴k=-1，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；
故答案为：y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x₁-x₂|，并熟练运用．