Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，交y轴的负半轴于点D，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ADB的大小；
（2）请直接写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）若点M是y轴上一点，以点M，A，C为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点N在第（3）题的抛物线上，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）过点C作CE⊥x轴于点E，根据点C的坐标以及圆的半径为2，解直角三角形求出∠ACE=60°，从而得到∠ACB=120°，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠APB的度数，然后根据圆内接四边形对角互补求解即可；
（2）根据勾股定理求出AE=BE=

3

，然后求出OA、OB的长度，写出点A、B的坐标即可；
（3）根据圆与抛物线的对称性写出顶点P的坐标为（1，3），再设出抛物线的顶点式解析式为y=a（x-1）²+3，把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（4）设点M的坐标为（0，m），再分①AC是平行四边形的边时，根据平行四边形的对边平行且相等表示出点N的坐标，然后根据点N在抛物线上，代入抛物线解析式计算即可得解，②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分先表示出平行四边形的中心坐标，再表示出点N的坐标，然后根据点N在抛物线上，代入抛物线解析式计算即可得解．

解答：解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵点C（1，1），⊙C的半径为2，
∴cos∠ACE=

CE

AC

=

1

2

，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACB=2∠ACE=2×60°=120°，
根据圆周角定理可得∠APB=

1

2

∠ACB=

1

2

×120°=60°，
所以，∠ADB=180°-∠APB=180°-60°=120°；

（2）在Rt△ACE中，根据勾股定理，AE=

AC2-CE2

=

22-12

=

3

，
根据对称性，BE=AE=

3

，
所以，OA=

3

-1，OB=

3

+1，
所以，点A（1-

3

，0），B（

3

+1，0）；

（3）∵抛物线的顶点P在⊙C上，圆的半径为2，圆心C的坐标（1，1），
∴顶点P的坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+3，
则a（

3

+1-1）²+3=0，
解得a=-1，
所以，抛物线解析式为y=-（x-1）²+3；

（4）∵点M在y轴上，
∴设点M的坐标为（0，m），

①AC是平行四边形的边时，如图1，点N在x轴下方是，坐标为（-

3

，m-1），
∵点N在抛物线上，
∴-（-

3

-1）²+3=m-1，
解得m=-2

3

，
所以，点M的坐标为（0，-2

3

），
点N在x轴上方时，坐标为（

3

，m+1），
∵点N在抛物线上，
∴-（

3

-1）²+3=m+1，
解得m=2

3

-2，
所以，点M的坐标为（0，2

3

-2）；
②AC是对角线时，∵点A（1-

3

，0），C（1，1），
∴平行四边形的中心坐标为（1-

3

2

，

1

2

），
∴点N的横坐标为2（1-

3

2

）=2-

3

，
纵坐标为

1

2

×2-m=1-m，
所以，N（2-

3

，1-m），
∵点N在抛物线上，
∴-（2-

3

-1）²+3=1-m，
解得m=2-2

3

，
所以，点M的坐标为（0，2-2

3

），
综上所述，点M的坐标为（0，-2

3

）或（0，2

3

-2）或（0，2-2

3

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，勾股定理的应用，待定系数法求二次函数解析式，以及平行四边形的性质，（3）用抛物线的顶点式解析式比较简单，（4）要注意分AC是平行四边形的边与对角线两种情况讨论求解，用点M的坐标表示出点N的坐标是解题的关键．