Question

已知：如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P(2，)．

(1)请判断的形状并说明理由．
(2)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合)，过点E分别作EF⊥轴于F，EB⊥轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．
求：① S与t之间的函数关系式．
② 当t为何值时，S最大，并求S的最大值

Answer 1

（1）△POA是等边三角形；
(2)①当0<t≤4时，S=，当4<t<8时，S=－+4t－8；②当t=时，S_最大=．

试题分析：（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；
（2）将y=0代入y=﹣x+4，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，利用tan∠POA=，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等边三角形；
（3）①当0＜t≤4时，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，可以求出EF，OF，从而得到S；
②分情况讨论当0<t≤4时，t=4时，当4<t<8时，S的值，最终求出最大值．
试题解析：
△POA是等边三角形．理由：
将代入
，
∴，即OA=4
作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，
∵ tan∠POA= ，
∴∠POA=60°，
∵ OP= 
∴△POA是等边三角形 ；
(2)① 当0<t≤4时，如图1

在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t
∴EF=t，OF=t
∴S=·OF·EF=  
当4<t<8时，如图2

设EB与OP相交于点C，
易知：CE=PE=t－4，AE=8－t，
∴AF=4－，EF=(8－t)， 
∴OF=OA－AF=4－(4－t)=t，
∴S=(CE+OF)·EF，
=(t－4+t)×(8－t)，
=－+4t－8 ；
② 当0<t≤4时，S=， t=4时，S_最大=2
当4<t<8时，S=－+4t－8=－(t－)+ 
t=时，S_最大=
∵>2，
∴当t=时，S_最大=．