Question

14．如图，已知△ABC中，AB=$2\sqrt{5}$，AC=$4\sqrt{5}$，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．

Answer 1

分析 作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠ANM=∠B，利用相似可得MN的长．

解答 解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，
有$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$，
∵M为AB中点，AB=$2\sqrt{5}$，
∴AM=$\sqrt{5}$，
∵BC=6，
∴MN=3；
②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，
有$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$，
∵M为AB中点，AB=$2\sqrt{5}$，
∴AM=$\sqrt{5}$，
∵BC=6，AC=$4\sqrt{5}$，
∴MN=$\frac{3}{2}$，
∴MN的长为3或$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查相似三角形的作图和相似三角形的判定以及存在性，解题的关键是注意相似作图及解答有多种情况．