Question

12．如图，P是抛物线y=2（x-2）²的对称轴上一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的t值有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 可设A点坐标为（t，t），则可用t表示出B点坐标，可得出AB、AP的长，由条件可知AB=AP或AB=BP，从而可得到t的方程，可求得t的值，则可求得答案．

解答 解：
∵y=2（x-2）²=2x²-8x+8，
∴对称轴为x=2，故P点横坐标为2；
当x=t时，直线y=x=t，故A（t，t）；
则y=2x²-8x+8=2t²-8t+8，故B（t，2t²-8t+8）；
若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则有AB=AP或AB=BP，
此时AB=|2t²-8t+8-t|，AP=|t-2|，
可得：|t-2|=|2t²-8t+8-t|；
当2t²-8t+8-t=t-2时，如图1，

则有t²-5t+5=0，解得t₁=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$；
当2t²-8t+8-t=2-t时，如图2，

则有t²-4t+3=0，解得t₂=1，t₃=3；
故符合条件的t值为1或3或$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$共4个，
故选D．

点评 本题目主要考查了一次函数图象与二次函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质，根据两点间的距离列出绝对值方程是解题的关键．