Question

17．已知Rt△AEC中，∠E=90°，请按如下要求进行操作和判断：
（1）尺规作图：作△AEC的外接圆⊙O，并标出圆心O（不写画法）；
（2）延长CE，在CE的延长线上取点B，使EB=EC，连结AB，设AB与⊙O的交点为D（标出字母B、D），判断：图中$\widehat{DE}$与$\widehat{EC}$相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先作出AC的中垂线，交AC于O，再以O为圆心，AO的长为半径画圆即可；
（2）延长CE，在CE的延长线上取点B，使EB=EC，连结AB，先判定△AEC≌△AEB（SAS），得出∠CAE=∠DAE即可得出结论．

解答 解：（1）如图所示，⊙O即为所求；

（2）延长CE，在CE的延长线上取点B，使EB=EC，连结AB，则△AEB即为所求，
∵BE=EC，AE=AE，AE⊥BC，
∴△AEC≌△AEB（SAS），
∴∠CAE=∠DAE，
∴$\widehat{DE}$与$\widehat{EC}$相等．

点评 本题主要考查了圆心角与弧的关系，全等三角形的判定与性质以及尺规作图的运用，解题时注意：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．