Question

6．如图，△ABC和△DBE都是等腰三角形，BA=BC，BD=BE，且∠ABC=∠DBE．
（1）求证：AD=CE；
（2）若∠ABC=90°，请你判断AD所在直线与CE的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件证明△ABD≌△CBE，就可以得到结论；
（2）由△ABD≌△CBE就可以得出∠BAD=∠BCE，就可以得出∠FHC=90°，进而得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE；

（2）AD⊥CE，理由是：
证明：延长AD交BC于F，交CE于H，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠BCE．
∵∠CAB=90°，
∴∠BAD+∠AFB=90°，
∴∠BCE+∠AFB=90°．
∵∠CFH=∠AFB，
∴∠BCE+∠CFH=90°，
∴∠FHC=90°．
∴AD⊥CE；

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．