题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= $数学公式$ x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁、A₂、A₃，…在x轴上，点B₁、B₂、B₃，…在直线l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，则△A₅B₆A₆的周长是

A.
24 $数学公式$
B.
48 $数学公式$
C.
96 $数学公式$
D.
192 $数学公式$

C
分析：首先求得点A与B的坐标，即可求得∠OAB的度数，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，易求得OB₁=OA= $\text{[math]}$ ，A₁B₁=A₁A，A₂B₂=A₂A，则可得规律：OA_n=（2ⁿ-1） $\text{[math]}$ ．根据A₅A₆=OA₆-OA₅求得△A₅B₆A₆的边长，进而求得周长．
解答：∴点A（- $\text{[math]}$ ，0），点B（0，1），
∴OA= $\text{[math]}$ ，OB=1，
∴tan∠OAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠OAB=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁A=∠A₁B₂A=∠A₂B₃A=∠OAB=30°，
∴OB₁=OA= $\text{[math]}$ ，A₁B₂=A₁A，A₂B₃=A₂A，
∴OA₁=OB₁= $\text{[math]}$ ，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₁= $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
同理：OA₃=7 $\text{[math]}$ ，OA₄=15 $\text{[math]}$ ，OA₅=31 $\text{[math]}$ ，OA₆=63 $\text{[math]}$ ，
则A₅A₆=OA₆-OA₅=32 $\text{[math]}$ ．
则△A₅B₆A₆的周长是96 $\text{[math]}$ ，
故选C．
点评：此题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．