Question

已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c．

Answer 1

分析：根据a、b、c是正整数和a＜b＜c，利用“放缩法”判断出abc=ab+bc+ca＜3bc，从而推出a的值．把a的值代入ab+bc+ca=abc，分两种情况求出a、b的值．

解答：解：解法一：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc，
所以a＜3，故a=1或者a=2．
（1）当a=1时，有b+bc+c=bc，
即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾．
（2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc-2b-2c=0，
所以（b-2）（c-2）=4，
又因为2＜b＜c，故0＜b-2＜c-2，
于是b-2=1，c-2=4．即b=3，c=6，
所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6．

解法二：∵ab+bc+ca=abc，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，
∵a＜b＜c，
∴

1

a

＞

1

b

＞

1

c

，
所以

1

a

＞

1

3

，1＜a＜3，a=2．
∴

1

b

+

1

c

=

1

2

，
所以

1

b

＞

1

4

，2＜b＜4，b=3．
由上得，c=6，
所以，唯一解：a=2，b=3，c=6．

点评：此题考查了非一次不定方程的解法，通过所给条件确定出未知数的取值范围再得到具体数值是解题的基本思路．