Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B。

（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB。

Answer 1

解：（1）点P在线段AB上，理由如下： ∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°， ∴AB是⊙P的直径， ∴点P在线段AB上；
（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线， 故S△AOB=OA×OB=×2PP1×PP2 ∵P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点， ∴S△AOB=OA×OB=×2PP1×2PP2=2PP1×PP2=12；
（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON=S△AOB=12， ∴OA·OB=OM·ON， ∴， ∵∠AON=∠MOB， ∴△AON∽△MOB， ∴∠OAN=∠OMB， ∴AN∥MB。