题目内容
【题目】如图1，△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α，把△ABD沿BD对折，A对应点为A'．
（1）①当α＝15°时，∠CBA'＝ ；
②用α表示∠CBA'为 ．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠1＝∠2＝α．
①当0°＜α＜60°时，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②BP＝8，CP＝n，则CA'＝ ．（用含n的式子表示）
【答案】（1）①30°；②60°﹣2α；（2）①BP＝AP+CP，理由见解析；②8﹣2n
【解析】
（1）先求出∠ABC＝60°，得出∠ABD＝60°﹣α，再由折叠得出∠A'BD＝60°﹣α，即可得出结论；
（2）①先判断出△BP'C≌△APC，得出CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，再判断出△CPP'是等边三角形，得出PP'＝CP；
②先求出∠BCP＝120°﹣α，再求出∠BCA'＝60°+α，判断出点A'，C，P在同一条直线上，即：PA'＝PC+CA'，再判断出△ADP≌△A'DP(SAS)，得出A'P＝AP，即可得出结论．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠CBD＝α，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣α，
由折叠知，∠A'BD＝∠ABD＝60°﹣α，
∴∠CBA'＝∠A'BD﹣∠CBD＝60°﹣α﹣α＝60°﹣2α，
①当α＝15°时，∠CBA'＝60°﹣2α＝30°，
故答案为30°；
②用α表示∠CBA'为60°﹣2α，
故答案为60°﹣2α；
（2）①BP＝AP+CP，理由：如图2，连接CP，
在BP上取一点P'，使BP'＝AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵∠1＝∠2＝α，
∴△BP'C≌△APC(SAS)，
∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，
∴∠PCP'＝∠ACP+∠ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠ACB＝60°，
∵CP'＝CP，
∴△CPP'是等边三角形，
∴∠CPB＝60°，PP'＝CP，
∴BP＝BP'+PP'＝AP+CP；
②如图3，
由①知，∠BPC＝60°，
∴∠BCP＝180°﹣∠BPC﹣∠PBC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
由（1）知，∠CBA'＝60°﹣2α，
由折叠知，BA＝BA'，
∵BA＝BC，
∴BA'＝BC，
∴∠BCA'＝
(180°﹣∠CBA')＝[180°﹣(60°﹣2α)]＝60°+α，
∴∠BCP+∠BCA'＝120°﹣α+60°+α＝180°，
∴点A'，C，P在同一条直线上，
即：PA'＝PC+CA'，
由折叠知，BA＝BA'，∠ADB＝∠A'DB，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠A'DB，
∴∠ADP＝∠A'DP，
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△A'DP(SAS)，
∴A'P＝AP，
由①知，BP＝AP+CP，
∵BP＝8，CP＝n，
∴AP＝BP﹣CP＝8﹣n，
∴A'P＝8﹣n，
∴CA'＝A'P﹣CP＝8﹣n﹣n＝8﹣2n，
故答案为：8﹣2n．
