Question

如图，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=

k

x

的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y₂=ax+b的图象经过A、C两点，并将y轴于点D（O，-1）若S_△AOD=4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y₁＞y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的面积求出点A的横坐标的长度，再根据点C是OB的中点求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再代入求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答；
（2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．

解答：解：（1）设点A的横坐标为x，
∵D（0，-1），
∴OD=1，
∴S_△AOD=

1

2

×1•x=4，
解得x=8，
∵AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点，
∴OC=

1

2

×8=4，
∴点C的坐标为（4，0），
把点C、D的坐标代入直线解析式得，

b=-1 4a+b=0

，
解得

a= 1 4 b=-1

，
∴一次函数的解析式为y=

1

4

x-1，
∵点A的横坐标为8，
∴y=

1

4

×8-1=2-1=1，
∴点A（8，1），
∴

k

8

=1，
解得k=8，
∴反比例函数解析式为y=

8

x

；

（2）由图可知，y₁＞y₂时，x的取值范围是0＜x＜8．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据三角形的面积和线段中点的定义求出OC的长度，从而得到点C的坐标是解题的关键，利用待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用．