题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4），反比例函数y= $数学公式$ （x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D交AB于点E，点P在该反比例函数的图象上运动（不与点D、E重合），过点P作PQ⊥BC所在直线于点Q，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当点p的坐标为（ $数学公式$ ，y）时，判断四边形PQEB的形状，并说明理由；
（3）是否存在点P，使三角形PQE的面积为6？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4），
∴C（0，4），
∵D是BC的中点，
∴D（2，4），
∵反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0，k≠0）的图象经过点D，
∴k=8，
所以y= $\text{[math]}$ （x＞0）；

（2）四边形PQEB是平行四边形，理由为：
当x= $\text{[math]}$ 时，得y=6，
∴PQ=6-4=2，
又当x=4时，得y=2，
∴E（4，2），
∴BE=2，
又PQ⊥BC，AB⊥BC，
所以BE平行且等于PQ，
∴四边形PQEB是平行四边形；
（3）存在点P，使△PQE的面积为6，设P（x， $\text{[math]}$ ），
①当P在直线BC的上方，即0＜x＜2时，
∴PQ= $\text{[math]}$ ，PQ=4-x，
又三角形PQE的面积为6= $\text{[math]}$ （4-x）=6，
解得：x=1或x=8（舍去），
∴P（1，8）；
②当P在直线BC的下方且在点E的左侧，即2＜x＜4时，
∴PQ=4- $\text{[math]}$ ，PQ=4-x，
又三角形PQE的面积为6= $\text{[math]}$ （4- $\text{[math]}$ ）（4-x）=6，
得x²-3x+8=0
∵△＜0，次方程无实数根，
故点P不存在；
③
当P在直线BC的下方且在点E的右侧，即x＞4时，
∴PQ=4- $\text{[math]}$ ，PQ=x-4，
又三角形PQE的面积为6= $\text{[math]}$ （4- $\text{[math]}$ ）（x-4）=6，
解得：x=1（舍去）或x=8，
∴P（8，1）；
综上，存在点P（1，8）或P（8，1），△PQE的面积为6；
分析：（1）根据正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4）得到C（0，4），然后根据D是BC的中点，得到D（2，4），
最后反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0，k≠0）的图象经过点D，求得k=8，从而得到反比例函数的解析式；
（2）根据当x= $\text{[math]}$ 时，得y=6，得到PQ=6-4=2，然后根据当x=4时，得y=2，得到E（4，2），结合又PQ⊥BC，AB⊥BC，证得四边形PQEB是平行四边形；
（3）设P（x， $\text{[math]}$ ），分当P在直线BC的上方，即0＜x＜2时、当P在直线BC的下方且在点E的左侧，即2＜x＜4时、当P在直线BC的下方且在点E的右侧，即x＞4时三种情况分类讨论即可得到答案．
点评：本题考查了反比例函数的综合知识，难度较大，综合性较强，往往是中考的压轴题，应重点训练．