如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=x2-2x-3交x轴于A.B两点.将该抛物线位于x轴上方曲线记作M.将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折.翻折后所得曲线记作N.曲线N交y轴于点C.连接AC.BC．(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式,(2)求△ABC外接圆的半径,(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点.点Q为x轴上的一个动点.若以点B.C.P.Q为顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2x-3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．
（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；
（2）求△ABC外接圆的半径；
（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．

分析（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；
（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y=x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；
（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ=PC，从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．

解答解：
（1）在y=x²-2x-3中，令y=0可得x²-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0可得y=-3，
又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，
∴C（0，3），
设曲线N的解析式为y=ax²+bx+c，
把A、B、C的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=-x²+2x+3；

（2）设△ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，
∵B（3，0），C（0，3），
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
又线段AB的解析式为曲线N的对称轴，即x=1，
∴M（1，1），
∴MB=$\sqrt{（1-3）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即△ABC外接圆的半径为$\sqrt{5}$；

（3）设Q（t，0），则BQ=|t-3|
①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，
∴P点纵坐标为3，

即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，
当点P在曲线M上时，在y=x²-2x-3中，令y=3可解得x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$，
∴PC=1+$\sqrt{7}$或PC=$\sqrt{7}$-1，
当x=1+$\sqrt{7}$时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ=t-3，
∴t-3=1+$\sqrt{7}$，解得t=4+$\sqrt{7}$，
当x=1-$\sqrt{7}$时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ=3-t，
∴3-t=$\sqrt{7}$-1，解得t=4-$\sqrt{7}$，
∴Q点坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）或（4-$\sqrt{7}$，0）；
当点P在曲线N上时，在y=-x²+2x+3中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2，
∴PC=2，
此时Q点在B点的右侧，则BQ=t-3，
∴t-3=2，解得t=5，
∴Q点坐标为（5，0）；
②当BC为平行四边形的对角线时，
∵B（3，0），C（0，3），
∴线段BC的中点为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），设P（x，y），
∴x+t=3，y+0=3，解得x=3-t，y=3，
∴P（3-t，3），
当点P在曲线M上时，则有3=（3-t）²-2（3-t）-3，解得t=2+$\sqrt{7}$或t=2-$\sqrt{7}$，
∴Q点坐标为（2+$\sqrt{7}$，0）或（2-$\sqrt{7}$，0）；
当点P在曲线N上时，则有3=-（3-t）²+2（3-t）+3，解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=1，
∴Q点坐标为（1，0）；
综上可知Q点的坐标为（4+$\sqrt{7}$，0）或（4-$\sqrt{7}$，0）或（5，0）或（2+$\sqrt{7}$，0）或（2-$\sqrt{7}$，0）或（1，0）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、三角形外心、勾股定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中确定出点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出外心的位置和坐标是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别最后一问，情况很多，难度较大．