Question

【题目】八年级下册教材第69页习题14：四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．这道题对大多数同学来说，印象深刻数学课代表在做完这题后，她把这题稍作改动，如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的三等分点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，那么AE＝EF还成立吗？如果成立，给予证明，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】成立，理由见解析.

【解析】

取AB的三等分点，连接GE，由点E是边BC的三等分点，得到BE=BG，根据正方形的性质得到AG=EC，根据全等三角形的性质即可得到结论．

证明：取AB的三等分点，连接GE，

∵点E是边BC的三等分点，

∴BE=BG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AG=EC，

∵△EBG为等腰直角三角形，可知∠AGE=135°，

∵∠AEF=90°，

∠BEA+∠FEC=90°，

∠BEA+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC．

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．