Question

如图，已知四边形ABCD、A₁B₁C₁D₁都是正方形，A₂、B₂、C₂、D₂分别是AA₁、BB₁、CC₁、DD₁的中点．
求证：四边形A₂B₂C₂D₂是正方形．（初二）

Answer 1

分析：连接BC₁和AB₁分别找其中点F，E，连接C₂F与A₂E并延长相交于Q点，根据三角形的中位线定理可得A₂E=FB₂，EB₂=FC₂，然后证明得到∠B₂FC₂=∠A₂EB₂，然后利用边角边定理证明得到△B₂FC₂与△A₂EB₂全等，根据全等三角形对应边相等可得A₂B₂=B₂C₂，再根据角的关系推出得到∠A₂B₂ C₂=90°，从而得到A₂B₂与B₂C₂垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A₂B₂C₂D₂是正方形．

解答：证明：如图，连接BC₁和AB₁分别找其中点F，E．连接C₂F与A₂E并延长相交于Q点，
连接EB₂并延长交C₂Q于H点，连接FB₂并延长交A₂Q于G点，
由A₂E=

1

2

A₁B₁=

1

2

B₁C₁=FB₂，EB₂=

1

2

AB=

1

2

BC=FC₂，
∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB₂+∠Q=90°，
∴所以∠GEB₂=∠GFQ，
∴∠B₂FC₂=∠A₂EB₂，
可得△B₂FC₂≌△A₂EB₂，
所以A₂B₂=B₂C₂，
又∠HB₂C₂+∠HC₂B₂=90°和∠B₂C₂Q=∠EB₂A₂，
从而可得∠A₂B₂ C₂=90°，
同理可得其它边垂直且相等，
从而得出四边形A₂B₂C₂D₂是正方形．

点评：本题主要考查了正方形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．