Question

如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是

BDC

的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且

BF

=

AD

，EM切⊙O于M．
（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）求证：AC²=

1

2

BC•CE；
（3）如果AB=2，EM=3，求cot∠CAD的值．

Answer 1

分析：（1）欲证（1）△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明

BF

=

AD

就可以；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据射影定理就可以得到结论．
（3）A是

BDC

中点，则AC=AB=2，根据切割线定理，以及△CAD∽△ABE就可以求的结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵

BF

=

AD

，
∴∠DCA=∠BAE．
∴△ADC∽△EBA；

（2）证明：过A作AH⊥BC于H（如图），
∵A是

BDC

中点，
∴AB=AC，
又∵AH⊥BC于H，
∴HC=HB=

1

2

BC，
∵∠CAE=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC=∠AHB=90°，
∴△ACH∽△AEC，
∴

AC

HC

=

CE

AC

，即AC²=HC•CE，
又∵BC=2CH，
∴AC²=CH•CE=

1

2

BC•CE；

（3）解：∵A是

BDC

中点，AB=2，
∴AC=AB=2．
∵EM是⊙O的切线，
∴EB•EC=EM²①
∵AC²=

1

2

BC•CE，BC•CE=8 ②
联立①②得：EC（EB+BC）=17．
∴EC²=17．
∵EC²=AC²+AE²，∴AE=

17-22

=

13

，
∵△CAD∽△ABE，
∴∠CAD=∠AEC．
∴cot∠CAD=cot∠AEC=

AE

AC

=

13

2

．

点评：本题主要考查了三角形相似的判定方法，切割线定理及勾股定理的综合运用．