题目内容

如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

解：（1）根据题意，设AE=BF=x（cm），折成的包装盒恰好是个正方体，
知这个正方体的底面边长NQ=ME=QE=QF= $\text{[math]}$ x，故EF= $\text{[math]}$ ME=2x，
∵正方形纸片ABCD边长为24cm，
∴x+2x+x=24，
解得：x=6，
则正方体的底面边长a=6 $\text{[math]}$ ，
V=a³= $\text{[math]}$ =432 $\text{[math]}$ （cm³）；
答：这个包装盒的体积是432 $\text{[math]}$ cm³；

（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= $\text{[math]}$ ，h= $\text{[math]}$ ，
∴S=4ah+a²=4 $\text{[math]}$ x $\text{[math]}$ （12-x）+ $\text{[math]}$ =-6x²+96x=-6（x-8）²+384，
∵0＜x＜12，
∴当x=8时，S取得最大值384cm²．
分析：（1）根据已知得出这个正方体的底面边长NQ=ME= $\text{[math]}$ x，EF= $\text{[math]}$ ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；
（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据已知得出正方体的边长x+2x+x=24是解题关键．