Question

18．如图，AC⊥BC，AC=BC=6，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作$\widehat{AB}$．过点O作BC的平行线交两弧于D、E，则阴影部分的面积是$\frac{15}{4}$π-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 连接CE，如图，先利用平行线的性质得到OE⊥AC，再根据三角函数的定义求出∠OCE=60°，则OE=$\sqrt{3}$OC=3$\sqrt{3}$，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S_扇形ACE-S_扇形AOD-S_△OCE进行计算即可．

解答 解：连接CE，如图，
∵AC⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AC，
在Rt△OCE中，OC=$\frac{1}{2}$AC=3，CE=CB=6，
∴cos∠OCE=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OCE=60°，OE=$\sqrt{3}$OC=3$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=S_扇形ACE-S_扇形AOD-S_△OCE
=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$-$\frac{90•π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$
=$\frac{15}{4}$π-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{15π}{4}$-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S_扇形=$\frac{n•π•{R}^{2}}{360}$或S_扇形$\frac{1}{2}$lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了矩形的性质．