Question

在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b）满足（a+1）²+=0

（1）直接写出：a=　_________　，b=　_________　；

（2）点B为x轴正半轴上一点，如图1，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，求直线BE的解析式；

（3）在（2）条件下，点M为直线BE上一动点，连OM，将线段OM逆时针旋转90°，如图2，点O的对应点为N，当点M的运动轨迹是一条直线l，请你求出这条直线l的解析式．

Answer 1

考点：

一次函数综合题．

分析：

（1）根据非负数是性质来求a、b的值；

（2）如图1，过点O作OF⊥OE，交BE于F．构建全等三角形：△EOC≌△FOB（ASA），△AOC≌△DOB（ASA），易求D（0，﹣1），B（3，0）．利用待定系数法求得直线BE的解析式y=x﹣1；

（3）如图2，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，过点N作NH⊥GH，垂足为H．构建全等三角形：△GOM≌△HMN，故OG=MH，GM=NH．设M（m，m﹣1），则H（m，﹣m﹣1），

N（m﹣1，﹣m﹣1），由此求得点N的横纵坐标间的函数关系．

解答：

解：（1）依题意得 a+1=0，b+3=0，

解得 a=﹣1，b=﹣3．

故答案是：﹣1；﹣3；

（2）如图1，过点O作OF⊥OE，交BE于F．

∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，

∴△EOF为等腰直角三角形．

∵在△EOC与△FOB中，，

∴△EOC≌△FOB（ASA），

∴OB=OC．

∴在△AOC与△DOB中，，

∴△AOC≌△DOB（ASA），

∴OA=OD，

∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），∴D（0，﹣1），B（3，0）

∴直线BD，即直线BE的解析式y=x﹣1；

（3）依题意，△NOM为等腰Rt△，

如图2，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，过点N作NH⊥GH，垂足为H，

∵△NOM为等腰Rt△，

则易证△GOM≌△HMN，

∴OG=MH，GM=NH，

由（2）知直线BD的解析式y=x﹣1，

设M（m，m﹣1），则H（m，﹣m﹣1），

∴N（m﹣1，﹣m﹣1），

令m﹣1=x，﹣m﹣1=y，

消去参数m得，y=﹣x﹣

即直线l的解析式为y=﹣x﹣．

（说明：此题用取特殊点计算的方法求解析式也行）

点评：

本题考查了一次函数综合题型．熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质．