Question

如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为E、N，且AE=BE，AN、BD交于点O，∠ADB=15°，问：DF=2

2

AE是否成立？请说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：先回答成立，然后根据题意作辅助线，构造出平行四边形进而即可根据线段的关系进行推理得证．

解答：解：DF=2

2

AE成立．理由如下：
如图所示，延长DC、AE相交于点G，连接BG，过点B作BH⊥DG于点H，过点F作FM⊥DG于点M，
∴四边形ABHN是平行四边形，
∴BH=AN，
∵∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°，
∴BD=2BH=2BN，
∵∠DAG=90°，∠ADG=45°，
∴DG=

2

AD=

2

•

2

AN=2AN，
∴DB=DG，
∴∠DBG=∠DGB=75°，
∴∠EBG=∠FBG-∠DBC=60°，∠BGF=30°，
∴BG=2BE=2AE，∠BFG=75°=∠FBG，
∴FG=BG=2AE，
∵DF=2FM，FG=

2

FM，
∴DF=

2

FG=2

2

AE．

点评：该题目考查了平行四边形的判定和性质，难点是由题意分析出作辅助线的方法，是比较复杂的题目．