Question

16．在△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，AD是BC边上的高，E是AD上一点，ED=CD，连接EC，求证：
（1）△ADC≌△BDE；
（2）EA=EC．

Answer 1

分析 （1）直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
（2）由条件可求得∠BAC=∠BCA=67.5°，且∠BAD=∠DCE=45°，可得∠EAC=∠ECA=22.5°，可证得结论．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，∠ABC=45°，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠CDA=∠EDB}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDE（SAS）；

（2）∵BA=BC，∠ABC=45°，
∴∠BCA=∠BAC=$\frac{1}{2}$×135°=67.5°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵ED=CD，
∴∠ECD=45°，
∴∠ACE=67.5°-45°=22.5°，
∵∠AEC=∠EDC+∠ECD=135°，
∴∠EAC=180°-22.5°-135°=22.5°，
∴EA=EC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，由条件分别计算出∠ACE和∠EAC的度数是解题的关键．