Question

如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点。

（1） 求抛物线的解析式；
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（注：抛物线的对称轴为）

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4)，
因为B（0，4）在抛物线上，
所以4=a(0+3)(0-4)，
解得a=，
所以抛物线解析式为。
（2）连接DQ，
在Rt△AOB中，，
所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=7-5=2，
因为BD垂直平分PQ，
所以PD=QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB=∠QDB，
因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，
所以DQ∥AB，
所以∠CQD=∠CBA，∠CDQ=∠CAB，
所以△CDQ∽△CAB，
所以，，即，
所以AP=AD- DP=AD-DQ=5-=，
，
所以t的值是。
（3）对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小，
理由：因为抛物线的对称轴为，
所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称，
连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小。
过点Q作QE⊥x轴于E，所以∠QED=∠BOA=90°，
即DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO，
 所以，即，
所以QE=，DE=，所以OE=OD+DE=2+=，
所以Q（，），
设直线AQ的解析式为，
则，解得：，
所以，直线AQ的解析式为，
联立，解得：y=，
所以，M点的坐标为，
即在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。