Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：y＝＋4与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移

（1）在平移过程中，得到△A1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标；

（2）继续向右平移，得到△A2B2C2，此时△A2B2C2的三边中垂线的交点P（即外心）恰好落在直线l上，求P点的坐标；

（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A1点的坐标是（，3），（2）P（3，1）；（3）存在四个点，分别是P（3，1），Q（，3），S（43，），R．（4＋3，）．

【解析】

（1）根据等边三角形ABC的高为3，得出A1点的纵坐标为3，再代入y＝＋4即可；

（2）设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，先求出A2B2＝2，HB2＝，根据点P是等边三角形A2B2C2的外心，得出PH＝1，将y＝1代入y＝＋4，即可得出点P的坐标；

（3）根据点P是等边三角形A2B2C2的外心，得出△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，得P（3，1），由（2）得，C2（4，0），点C2满足直线y＝＋4的关系式，得出点C2与点M重合，∠PMB2＝30°，设点Q满足的条件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能构成等腰三角形，则QA2＝QB2，B2Q＝B2C2，A2Q＝A2C2，作QD⊥x轴与点D，连接QB2，根据QB2＝2，∠QB2D＝2∠2＝60°，求出Q（，3），设点S满足的条件，△SA2B2，△C2B2S，△C2SA2是等腰三角形，则SA2＝SB2，C2B2＝C2S，C2A2＝C2S，作SF⊥x轴于点F，根据SC2＝2，∠SB2C2＝∠PMB2＝30°，求出S（43，），设点R满足的条件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能构成等腰三角形，则RA2＝RB2，C2B2＝C2R，C2A2＝C2R，作RE⊥x轴于点E，根据RC2＝2，∠RC2E＝∠PMB2＝30°，R（4＋3，）．

（1）∵等边三角形ABC的高为3，
∴A1点的纵坐标为3，
∵顶点A1恰落在直线l上，
∴3＝＋4，
解得；x＝，
∴A1点的坐标是（，3），
故答案为：（，3）；
（2）设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，
在等边三角△A2B2C2中，高A2H＝3，
∴A2B2＝2，HB2＝，
∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，
∴∠PB2H＝30°，
∴PH＝1，即y＝1，
将y＝1代入y＝＋4，
解得：x＝3．
∴P（3，1）；

（3）∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，
∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形
∴点P满足的条件，由（2）得P（3，1），
由（2）得，C2（4，0），点C2满足直线y＝＋4的关系式，
∴点C2与点M重合
∴∠PMB2＝30°，
设点Q满足的条件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能构成等腰三角形，
此时QA2＝QB2，B2Q＝B2C2，A2Q＝A2C2，
作QD⊥x轴与点D，连接QB2，
∵QB2＝2，∠QB2D＝2∠PMB2＝60°，
∴QD＝3，
∴Q（，3），
设点S满足的条件，△SA2B2，△C2B2S，△C2SA2是等腰三角形，
此时SA2＝SB2，C2B2＝C2S，C2A2＝C2S，
作SF⊥x轴于点F，
∵SC2＝2，∠SB2C2＝∠PMB2＝30°，
∴SF＝，
∴S（43，），
设点R满足的条件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能构成等腰三角形，
此时RA2＝RB2，C2B2＝C2R，C2A2＝C2R，
作RE⊥x轴于点E，
∵RC2＝2，∠RC2E＝∠PMB2＝30°，∴ER＝，
∴R（4＋3，）．
答：存在四个点，分别是P（3，1），Q（，3），S（43，），R．（4＋3，）．