Question

【题目】如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为边上一动点，设，线段的垂直平分线分别交边、于点、，过作于点，过作于点．

（1）当时，求证：；

（2）顺次连接、、、，设四边形的面积为，求出与自变量之间的函数关系式，并求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），的最小值为2

【解析】

（1）由四边形是正方形得到，，又由，利用ASA即可证得；

（2）分为两种情况：①当在上时，由点是边的中点，，，又由勾股定理求得，由得到的值，又求得面积，由范围得到的最小值；②当在上时，同法可求的最小值．

解：（1）证明：∵四边形是正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴四边形、都是矩形，

∴，，，

∴MF=QE

又∵，

∴，，

∵，

∴，

又∵，

∴；

（2）解：分为两种情况：①当在上时，

∵点是边的中点，，，

∴，，，

由勾股定理，得，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵0≤AE≤AP

∴，

∴当时，．

②当在上时，

∵点是边的中点，，，

∴，，，

由勾股定理，得，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵AP≤AE≤AB

∴，

∴当时，．

综上：，的最小值为2．