题目内容
如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，且OB、OC（OB＜OC）分别是一元二次方程2x2-3x+1=0的两根．（1）求B点的坐标；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点．
①当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式，并求当S=
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②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：压轴题,分类讨论
分析：（1）利用因式分解法解一元二次方程，然后写出点B的坐标即可；
（2）①把点B的坐标代入直线解析式求出k值，从而得到直线解析式，再利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与x的关系式，再把S=
代入关系式计算即可得解；
②根据点A的坐标利用勾股定理列式求出AB的长，再分BP=AB，AB=AP，AP=BP三种情况分别求解即可．
（2）①把点B的坐标代入直线解析式求出k值，从而得到直线解析式，再利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与x的关系式，再把S=
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②根据点A的坐标利用勾股定理列式求出AB的长，再分BP=AB，AB=AP，AP=BP三种情况分别求解即可．
解答：解：（1）2x2-3x+1=0，
（2x-1）（x-1）=0，
2x-1=0，x-1=0，
解得x1=
，x2=1，
∵OB＜OC，
∴点B（
，0）；
（2）把点B代入y=kx-1得，
k-1=0，
解得k=2，
所以，直线解析式为y=2x-1，
①△AOB的面积S=
×
×（2x-1）=
x-
，
即S=
x-
，
当S=
时，
x-
=
，
解得x=
，
此时，y=2×
-1=2，
所以，点A的坐标为（
，2）；
②由勾股定理得，AB=
=
，
BP=AB时，若点P在点B的左边，则OP=
-
，
所以，点P（
-
，0），
若点P在点B的右边，则OP=
+
，
所以，点P（
+
，0）；
AB=AP时，由等腰三角形三线合一的性质，OP=
+2×（
-
）=
，
所以，点P（
，0）；
AP=BP时，由勾股定理得，BC=
=
，
∴cos∠ABP=cos∠OBC=
=
，
由等腰三角形三线合一的性质，BP=
AB÷cos∠ABP=
÷
=
，
所以，OP=
+
=3，
点P（3，0），
综上所述，x轴上存在点P（
-
，0）或（
+
，0）或（
，0）或（3，0），使△PAB是等腰三角形．
（2x-1）（x-1）=0，
2x-1=0，x-1=0，
解得x1=
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∵OB＜OC，
∴点B（
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（2）把点B代入y=kx-1得，
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解得k=2，
所以，直线解析式为y=2x-1，
①△AOB的面积S=
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即S=
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当S=
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解得x=
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| 2 |
此时，y=2×
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所以，点A的坐标为（
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②由勾股定理得，AB=
(
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BP=AB时，若点P在点B的左边，则OP=
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所以，点P（
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若点P在点B的右边，则OP=
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所以，点P（
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AB=AP时，由等腰三角形三线合一的性质，OP=
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所以，点P（
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AP=BP时，由勾股定理得，BC=
(
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∴cos∠ABP=cos∠OBC=
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由等腰三角形三线合一的性质，BP=
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所以，OP=
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点P（3，0），
综上所述，x轴上存在点P（
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点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，等腰三角形三线合一的性质，难点在于（2）②根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论．
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下列说法错误的是（ ）
| A、两点之间的所有连线中，线段最短 |
| B、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 |
| C、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 |
| D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 |
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，
如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．