Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC垂直于x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时：①求直线AB相应的函数表达式；②当S_△QOA=4时，求点P的坐标；
（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）①利用待定系数法求解即可，
②由①知点P坐标为（a，-

3

2

a+3），可求出点Q坐标，再利用S_△QOA=

1

2

×|OA|×|-

3

2

a+3|求出a的值，即可得出点P的坐标．
（2）分两种情况①当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，②，当∠AQC=90°且QA=QC时，过点Q作QH⊥x轴于点H，分别求解即可．

解答：解：（1）①设直线AB的函数表达式为：y=kx+b（k≠0），
将A（2，0），B（0，3）代入得

2k+b=0 b=3

，解得

k=- 3 2 b=3

，
所以直线AB的函数表达式为y=-

3

2

x+3，
②由①知点P坐标为（a，-

3

2

a+3），
∴点Q坐标为（-a，-

3

2

a+3），
∴S_△QOA=

1

2

×|OA|×|-

3

2

a+3|=

1

2

×2×|-

3

2

a+3|=|-

3

2

a+3|=-

3

2

a+3=4．
解得a=-

2

3

，
∴P点的坐标为（-

2

3

，4），
（2）设P点的坐标为（a，n），（a＜0，n＞0），
则点C，Q的坐标分别为C（a，0），Q（-a，n），
①如图1，当∠QAC=90°且AQ=AC时，QA∥y轴，

∴-a=2，
∴a=-2，
∴AC=4，从而AQ=AC=4，即|n|=4，由n＞0得n=4，
∴P点坐标为（-2，4）．
设直线AB的函数表达式为y=cx+b（c≠0），
将P（-2，4），A（2，0）代入得

-2c+b=4 2c+b=0

，解得

c=-1 b=2

，
∴a=-2，b=2．
②如图2，当∠AQC=90°且QA=QC时，过点Q作QH⊥x轴于点H，

∴QH=CH=AH=

1

2

AC，
由Q（-a，n）知H（-a，0）．
Q的横坐标-a=

a+2

2

，解得a=-

2

3

，
Q的纵坐标QH=

2-a

2

=

4

3

∴Q（

2

3

，

4

3

），
∴P（-

2

3

，

4

3

），
由P（-

2

3

，

4

3

），点A坐标为（2，0），可得直线AP的解析式为y=-

1

2

x+1，
∴b=1，
∴a=-

2

3

，b=1，
综上所述当△QAC是等腰直角三角形时，a=-2，b=2或a=-

2

3

，b=1．

点评：本题主要考查了一次函数综合题，涉及一次函数解析式，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合，分类讨论．