Question

已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO=

1

3

，设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．
（1）求AB的长；
（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用cos∠BAO=

AD

OA

=

1

3

，得出AB=2AD进而得出答案；
（2）首先得出PC∥OB，进而求出

AC

AB

=

PA

AO

，得出OC与x的函数关系式即可；
（3）当⊙P与⊙O外切时，根据∠BOA=∠OCA，∠CAO=∠POC，则△OAC∽△OCP，得出

OA

OC

=

OC

OP

．

解答：解：（1）在⊙O中，作OD⊥AB，垂足为D，
在Rt△OAD中，cos∠BAO=

AD

OA

=

1

3

，
∴AD=

1

3

AO=1，
∴BD=AD=1，
∴AB=2AD=2．

（2）连接OB、PA、PC，
∵⊙P与⊙O相切于点A，
∴点P、A、O在一直线上．
∵PC=PA，OA=OB，
∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA，
∴PC∥OB．
∴

AC

AB

=

PA

AO

，
∴AC=

PA•AB

AC

=

2x

3

，
∵OD²=OA²-AD²=3²-1²=8，CD=AD+AC=

2

3

x+1，
∴OC=

OD2+CD2

=

( 2 3 x+1)2+8

，
∴y=

1

3

4x2+12x+81

，（定义域为x＞0）．

（3）当⊙P与⊙O外切时，
∵∠BOA=∠OCA，∠CAO=∠POC，
∴△OAC∽△OCP．
∴

OA

OC

=

OC

OP

，
∴OC²=OA•OP，
∴

1

9

（4x²+12x+81）=3（3+x），
∴x₁=0（不符合题意，舍去），x₂=

15

4

，
∴这时⊙P的半径为

15

4

，
当⊙P与⊙O内切时，
∴

2x

3

=

9

2

，
解得：x=

27

4

，
∴这时⊙P的半径为

27

4

，
∴⊙P的半径为

15

4

或

27

4

．

点评：此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．