Question

四边形ABCD中，AD=DC，BD平分∠ABC．那么∠A和∠C的数量关系是    ．

Answer 1

【答案】分析：如图，在BC上截取BE=BA，构建全等三角形△BAD≌△BED，然后根据全等三角形的对应角相等、对应边相等、等腰三角形的性质以及补角的定义即可求得∠A+∠C=180°．
解答：解：①如图1，在BC上截取BE=BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△BAD和△BED中，
∵，
∴△BAD≌△BED（SAS），
∴DA=DE，∠A=∠BED，
又∵AD=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠BED+∠DEC=180°，
∴∠A+∠C=180°，即∠A和∠C互补；
②如图2，若四边形ABCD是菱形或正方形时，∠A=∠C．
综上所述，∠A和∠C的数量关系是相等或互补．
故答案是：相等或互补．
点评：本题考查了等腰三角形的判断方法和证明三角形全等的方法．解题时采用了分类讨论的数学思想，以防漏解．