Question

8．如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，AE的延长线交BC的延长线于点G．若AF=13，DE=5，则CG的长是$\frac{84}{5}$．

Answer 1

分析 首先利用余角的性质证明∠FAB=∠DAE，进而利用ASA即可证明△ABF≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等的性质可得AE=AF，BF=DE，然后在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求出EC的长，再证明△ADE∽△GCE，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答 解：正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，
∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠BAE=90°
∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
在△ABF与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠EBA=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF，BF=DE，
∵∠FBA=90°，AF=7，BF=DE=2，
∴AB=$\sqrt{1{3}^{2}{-5}^{2}}$=12，
∴EC=DC-DE=7，
∵∠D=∠ECG=90°，∠DEA=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，
∴$\frac{AD}{CG}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{12}{CG}=\frac{5}{7}$，
∴CG=$\frac{84}{5}$．
故答案为：$\frac{84}{5}$．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证明△ABF≌△ADE，从而得到AF=AE，BF=DE是解题的关键．