Question

9．四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交AE于点O，且点O在四边形ABCD的内部．
（1）如图1，若AD∥BC，∠B=70°，∠C=80°，则∠DOE=105°．
（2）如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可求∠AEC，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE的度数；
（2）根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∠B=70°，∠C=80°，
∴∠BAD=110°，∠ADC=100°，
∵∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交AE于点O，
∴∠BAE=55°，∠ODC=50°，
∴∠AEC=125°，
∴∠DOE=360°-125°-80°-50°=105°；
（2）∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，
∵∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交AE于点O，
∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，
∴∠B+∠C+2∠DOE=360°．
故答案为：105．

点评 考查了多边形内角与外角，平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于360°的知识点．