Question

如图，某天然气公司的主输气管道从C市自西向东沿l方向直线延伸，测绘员在C处测得要安装天然气的A小区在C市正北方向1km处，测绘员沿主输气管道l步行到达D处，测得小区B位于D的正南方向2km处，且测得小区A位于小区B的北偏西45°方向，请你在主输气管道l上寻找支管道连接点N，使N到A小区和B小区铺设的管道相等，并求CN的长．

Answer 1

分析：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交CD于点N，则N是在主输气管道l上到A小区和B小区铺设的管道相等的支管道连接点．先由∠ABD=∠BAC=45°，得出CD的长，再设CN=xkm，根据NA=NB列出方程，求解即可．

解答：解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交CD于点N，则N点为所求．
设AB与CD交于点O，连接NA、NB．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∴∠BAC=∠ABD．
∵小区A位于小区B的北偏西45°方向，∴∠ABD=45°，∴∠BAC=45°，
∴△OAC与△OBD都是等腰直角三角形，
∴OC=AC=1km，OD=BD=2km，
∴CD=OC+OD=3km．
设CN=xkm，则DN=（3-x）km．
在△ACN中，AN²=AC²+CN²=1+x²，
在△BDN中，BN²=BD²+DN²=4+（1-x）²，
∵AN=BN，∴1+x²=4+（1-x）²，
解得x=2．
故CN的长为2km．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，作图-应用与设计作图．根据线段垂直平分线的判定确定点N的位置是前提条件，由方向角的定义及等腰直角三角形的性质得出CD的长是解题的关键．