Question

19．如图，在正方形ABCD中，G是对角线AC上一点，GE⊥AB，GF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF、BG、DG．求证：DG=EF．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠ABC=∠BCD=90°，CD=CB，AC平分∠BCD，由SAS证明△DCG≌△BCG，得出DG=BG，再证明四边形BEGF是矩形，得出EF=BG，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，CD=CB，AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
在△DCG和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}&{\;}\\{∠ACD=∠ACB}&{\;}\\{CG=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△BCG （SAS），
∴DG=BG，
∵GE⊥AB，GF⊥BC，
∴∠GEB=∠GFB=∠ABC=90°，
∴四边形BEGF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴EF=BG（矩形的对角线相等），
∴DG=EF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．