Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D，E，N分别是△ABC的AB，AC，BC边上的中点，连接AN，DE交于点M．

（1）观察猜想：的值为　 　：的值为　 　；

（2）探究与证明：将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜360°），且△ADE内部的线段AM随之旋转，如图2所示，连接BD，CE，MN，试探究线段BD与CE和BD与MN之间分别有什么样的数量关系，并证明；

（3）拓展与延伸：△ADE在旋转的过程中，设直线CE与BD相交于点F，当∠CAE＝90°时，BF＝　 　．

Answer 1

【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或.

【解析】

（1）由三角形中位线定理可得AD=BD=3，AE=EC=4，DE∥BC，由勾股定理可求BC=10，由直角三角形的性质可得AN=5，由平行线分线段成比例可得，即可求解；

（2）由旋转的性质可证△ADB∽△AEC，△ABD∽△ANM，由相似三角形的性质可求解；

（3）分当点E在线段AB上和点E在线段BA的延长线上在两种情况讨论，由勾股定理可求BD，CE的长，由相似三角形的性质可求BF的长．

（1）∵AB=6，AC=8，点D，E分别是△ABC的AB，AC边上的中点，∴AD=BD=3，AE=EC=4，DE∥BC，∴．

∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC10．

∵点N是BC上的中点，∴ANBC=5．

∵DE∥BC，∴，∴．

故答案为：，；

（2），．理由如下：

由图1可得：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△ADM∽△ABM，∴，．

∵将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α角，∴∠DAB=∠CAE=α，且，∴△ADB∽△AEC，∴．

∵∠BAD=∠MAN=α，且，∴△ABD∽△ANM，∴．

（3）如图，当点E在线段AB上时．

∵AB=6，AC=8，AE=4，AD=3，∴CD=11，BD3，CE4．

∵，∴，且∠DAE=∠EAC=90°，∴△AEC∽△ADB，∴∠ABD=∠ACE，且∠ABD+∠BDA=90°，∴∠ACE+∠BDA=90°，∴∠DFC=90°=∠BAC，且∠ACE=∠ACE，∴△ACE∽△FCD，∴，∴DF，∴BF=BD﹣DF．

如图，当点E在线段BA的延长线上．

同理可得：BD=3，BE=10，∠BAC=∠EFB=90°．

∵∠EBF=∠EBF，∠BAD=∠EFB=90°，∴△ADB∽△FEB，∴，∴BF4．

综上所述：当∠CAE=90°时，BF=4或．

故答案为：4或．