题目内容

（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当
DE
AE
=1时，有EF=
a+b
2
；
②当
DE
AE
=2时，有EF=
a+2b
3
；
③当
DE
AE
=3时，有EF=
a+3b
4
．
当
DE
AE
=k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．
（1）猜想得：EF=
a+kb
1+k
，
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．

∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴
DH
AG
=
DE
AE
，
又∵EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，
∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴
EF-a
b-EF
=k，可得EF=
a+kb
1+k
；

（2）在AD上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，
设
DE
AE
=k，
则EF=
170+310k
1+k
，DE=
70k
1+k
，
若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE，
∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形，
∴
170+310
2
×70=2×
1
2
×（170+
170+310x
1+x
）×
70k
1+k
，
化简得12k2-7k-12=0解得：k1=
4
3
，k2=-
3
4
（舍去），
∴DE=
70
1+k
=30，
所以只需在AD上取点E，使DE=30米，作EF∥AB（或EF⊥DA），
即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．
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1
2
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