题目内容

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ=
12
5
时，求PA的长．
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴
Sp
Sq
=
8
6+10
=
1
2
（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴
QH
AB
=
CQ
CB
=
CH
AC

∴QH=
6
5
(8-x)，CH=
8
5
(8-x)
∴PH=CH-CP=
3
5
（8-x），
∴tan∠QPA=
QH
PH
=2．（1分）
∵tan∠QCA=
3
4
，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=
11
4
，
tan∠QPA•tan∠QCA=
3
2
，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y2-
11
4
y+
3
2
=0即4y2-11y+6=0．（1分）

（2）当S△PBQ=
12
5
时，设PA=x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ=2x，BQ=6-2x．
S△PBQ=
1
2
PA•BQ
=
1
2
x(6-2x)
=
12
5
，
∴x2-3x+
12
5
=0，
∵△=9-
48
5
＜0，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴
PG
BA
=
PC
BC
，
∴PG=
3
5
(8-x)，
∴S△PBQ=
1
2
QB•PG
=
1
2
•(2x-6)•
3
5
(8-x)
=
12
5
．
∴x2-11x+28=0，
解得：x1=4，x2=7．
∴S△PBQ=
12
5
时，PA=4或7．（2分）
练习册系列答案
相关题目
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，则下列判断正确的是（　　）
A．∠A的正弦值是
3
4
B．∠A的余弦值是
3
4
C．∠A的正切值是
3
4
D．∠A的余切值是
3
4
根据图中信息，经过估算，下列数值与tanα的值最接近的是（　　）
A．0.6246B．0.8121C．1.2252D．2.1809
如图，在平面直角坐标系中，P是∠1的边OA上一点，点P的坐标为（3，4），则sin∠1的值为（　　）
A．
3
4
B．
4
3
C．
4
5
D．
3
5
在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinA=______，cosA=______．
如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）
A．
1
2
B．
5
5
C．
10
10
D．
2
5
5
等边三角形的一个锐角的余弦值为（　　）
A．
3
2
B．
2
2
C．
1
2
D．
3
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=
2
3
，则BC的长为（　　）
A．4B．2
5
C．
18
13
13
D．
12
13
13
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则sinA=______．

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