Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=

2

．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，则DF=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：如图，首先证明△ABG≌△BCD，得到AG=AD，这是解决该题的关键之一；进而证明△AGF≌△ADF，得到DF=GF，这是解决该题的关键之二；证明△AGF∽△CBF，列出比例式，求出BG的长，即可解决问题．

解答：解：如图，
∵∠ABC=90°，BE⊥CD，
∴∠EDB+∠EBD=∠EDB+∠DCB，
∴∠ABG=∠DCB；而AG⊥AB，
∴∠GAB=∠DBC；
在△ABG与△BCD中，

∠GAB=∠DBC AB=BC ∠ABG=∠DCB

，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD；而AD=BD，
∴AG=AD；
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠CAB=45°，∠GAF=45°；
在△AGF与△ADF中，

AG=AD ∠GAF=∠DAF AF=AF

，
∴△AGF≌△ADF（SAS），
∴DF=GF；
在直角△ABG中，由勾股定理得：
BG²=AB²+AG²，而AB=

2

，BC=

2

2

，
∴BG=

10

2

；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴GF：BF=AG：BC=1：2，
∴GF=

1

3

BG=

10

6

，
∴DF=GF=

10

6

，
故答案为

10

6

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、勾股定理、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是整体观察分析、大胆猜测推理、科学论证解答．