Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AP切⊙O于点A，OP⊥AC于点E．
（1）求证：△ABC∽POA；
（2）若OB=2，OP=，求PE的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直径
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA；

（2）解：∵△ABC∽△POA，
∴，
∵OB=2，OP=，
∴OA=2，AB=4，
∴，
∴BC=，
∴AC==，
∴AE=AC=，
∵AE²=PE•OE=PE×BC，
∴PE=．
分析：（1）由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根据直径所对的圆周角为直角可知∠C=90°，再根据切线的性质知∠OAP=90°，从而可证△ABC∽△POA；
（2）根据△ABC∽△POA，和已知边的长可将BC的长求出，利用勾股定理可求出AC的长，进而求出AE的长，利用射影定理即可求出PE的长．
点评：本题主要考查相似三角形的性质与判定、切线的性质等知识，综合性比较强．