Question

【题目】如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在，或；；(3) 当时，的最大值为：．

【解析】

(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；

(2)分三种情况，分别求解即可；

(3)由即可求解．

解：(1)由二次函数交点式表达式得：，

即：，解得：，

则抛物线的表达式为；

(2)存在，理由：

点的坐标分别为，

则，

将点的坐标代入一次函数表达式：并解得：…①，

同理可得直线AC的表达式为：，

设直线的中点为，过点与垂直直线的表达式中的值为，

同理可得过点与直线垂直直线的表达式为：…②，

①当时，如图1，

则，

设：，则，

由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)，

故点；

②当时，如图1，

，则，

则，

故点；

③当时，

联立①②并解得：(舍去)；

故点Q的坐标为：或；

(3)设点，则点，

∵，

∴，

，

∵，

∴有最大值，

当时，的最大值为：．