Question

已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；  
（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似．

Answer 1

分析：（1）要求直线AC的解析式，需要求出点A、点C的坐标，可以利用等积法求得C点的纵坐标，利用勾股定理求得横坐标，利用两点式求得直线的解析式；
（2）对于相似要分情况进行讨论，根据对应线段成比例可求得t的数值．

解答：解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，
在Rt△OCA中，AC=

52-42

=3，
∴5×CE=3×4，
∴CE=

12

5

，
在Rt△OCE中，OE=

42-( 12 5 )2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），A（5，0），
∴y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t＞2.5时，
①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OCA，
故

AQ

AP

=

OA

OC

=

5

4

，
∴

t

2t-5

=

5

4

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合条件．
综上可知，当t=

25

6

或

20

3

时，△OAC与△APQ相似．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及直讨论线与圆的位置关系；在解决圆的问题时要注意勾股定理的应用，要注意对问题进行分类讨论．